Является участником Великой Отечественной войны. Родился 23 июня 1925 года в д. Колпаково Александровского района Владимирской области. Окончил 8 классов. 22 января 1943 года был призван в армию в г. Горький в стрелковый батальон. В сентябре 1943 года в составе маршевой роты был направлен на 1 Украинский фронт. Принимал участие в форсировании р. Днепр, освобождал г. Белая церковь, Житомир. Под Шепетовкой был контужен. После ранения в составе 4 украинского фронта в 1944 году вышел на рубежи СССР границе с Польшей в составе роты 82-мм минометов, затем в Чехословакии в составе полковых 120-мм минометов корректировал огонь. Победу встретил под г. Опель (Германия).
Демобилизовался 7 апреля 1950 года в звании старшины. С июля 1950 года проходил службу в органах внутренних дел в должности следователя, с 1961 года – в должности старшего следователя начальника следственного отдела. Уволился на пенсию в сентябре 1971 года продолжая работать начальником инспекции исправительных работ Гусь-Хрустального ОВД. С 1977 по 1996 год майор милиции Куньков Б.К. работал завхозом в Гусь-Хрустальном отряде профессиональной пожарной охраны.
За ратный труд награжден орденами «Красной звезды», «Отечественной войны», медалью «За боевые заслуги» и еще 10-ю медалями. Борис Константинович неоднократно поощрялся руководством отряда.
Скончался в 2010 году, похоронен в городе Гусь-Хрустальный.
5-й пожарно-спасательный отряд